（封面及头图Pixiv ID：55647411）
引言
昨日做53B时，碰到了一道集合新概念难题：
（2021浙江宁波十校3月联考，10）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合.如果F同时满足：①∅∈F；②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.下列说法错误的是：
A.若U={1,2,3,4,5,6},则F={∅,{1,3,5},{2,4,6},U}是U的一个环
B.若U={a,b,c}则存在U的一个环F，F含有8个元素
C.若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2},{3,5}∈F
D.若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0,3],[2,4]∈F
这道题有点意思，直接将抽象代数中的环作为新概念。
然而，我并没有学过抽象代数，这道题显然主要考的也并不是抽象代数。那么，这道题该怎么做呢？
预备知识
首先，高中阶段的集合知识肯定是要有的。然后,在这篇文章中为了方便表述，我们引入集合的差运算。具体的同学们到了大学可以再深入学习，这里先简单介绍一下：
A−B={x∣x∈A，但 x∈B}
用韦恩图来直观表示的话，可以分为以下几种情况：
互不相交
A−B的结果为灰色阴影部分所对应的集合。
包含关系
A−B的结果为灰色阴影部分所对应的集合。
相交但互不包含
A−B的结果为灰色阴影部分所对应的集合。
分析题意
不妨先来分析一下题意。
U是一个非空集合，则必然有两个及以上的子集。而F是U的子集构成的集合，也就是说，F会长这样：
{{…},…}
这里要注意一下，千万不可认为F必定是由U的所有子集构成的集合（我当时就是这样子想的，导致一开始没做出来），F可能会是{∅}，也可能会是{U}。
接下来就是看题目中对环的定义，并对选项逐个分析判断了（时间紧或者计算没太大问题还是推荐使用排除法）。
整理定义
众所周知，这种类型的题目如果直接将选项带入题目给出的定义中去判断的话，费时费力，还不一定对。因此，我们需要尝试对题中环的定义进行整理。
可以先分类讨论A,B两集合(此处的几种情况已经考虑了A,B顺序，逐项分析时无需再次考虑顺序)的几种情况并画出对应的韦恩图：
A,B两集合互不相交
A∩(∁UB)=A,B∩(∁UA)=B,A∈F,B∈F
因此，此时只需满足∅∈F,A∪B∈F即可。
A,B两集合为包含关系
如果A⊆B，则需满足B−A∈F,∅∈F,A∪B=F，而此时A−B=∅,A∪B=B；
如果B⊆A，则需满足A−B∈F,∅∈F,A∪B=F，而此时B−A=∅,A∪B=B；
因此，此时只需满足A−B∈F,B−A∈F即可。
A,B两集合相交但互不包含
A∩(∁UB)=A−B,B∩(∁UA)=B−A
因此，此时只需满足A−B∈F,B−A∈F,∅∈F,A∪B∈F即可。
接着便可以开始分析各个选项了。
逐项分析
选项A
当A=∅时，它跟任何一个集合B都为包含关系，且A−B=∅,B−A=B,∅∈F,B∈F。
当A={1,3,5},B={2,4,6}时，A和B互不相交，且∅∈F,A∪B=U,U∈F。
当A={1,3,5},B=U时，A和B为包含关系，且A−B=∅,B−A={2,4,6},∅∈F,{2,4,6}∈F。
当A={2,4,6},B=U时，同理。
当A=B时，A和B可视作包含关系，且A−B=∅,B−A=∅,∅∈F。
因此F是U的一个环，选项A正确。
选项B
由乘法原理可知，U={a,b,c}共有23=8个子集，因此它的环最多有8个元素。而选项中的F是U的子集构成的集合，且恰好有8个元素，所以F={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。
接下来证明F是U的一个环：
当A=∅时，它跟任何一个集合B都为包含关系，且A−B=∅,B−A=B,∅∈F,B∈F。
当A={a}，B={b}或{c}或{b,c}时，A和B互不相交，且∅∈F,A∪B∈F。
当A={a}，B={a,b}或{a,c}或{a,b,c}时，A和B为包含关系，且A−B=∅,∅∈F,B−A∈F。
当A={b}或{c}时，同理。
当A={a,b},B={a,c}或{b,c}时，A和B为相交但互不包含关系，且A−B∈F,B−A∈F,∅∈F,A∪B∈F。
当A={a,b},B={a,b,c}时，A和B为包含关系，且A−B=∅,B−A={c},∅∈F,{c}∈F。
当A={a,c}或{b,c}时，同理。
当A=B时，A和B可视作包含关系，且A−B=∅,B−A=∅,∅∈F。
因此F是U的一个环，选项B正确。
选项C
不妨取A={2},B={3,5}，A和B互不相交，因此有∅∈F,A∪B∈F。
因为F中有4个元素，所以F={∅,{2},{3,5},{2,3,5}}。
接下来证明F是U的一个环：
当A=∅时，它跟任何一个集合B都为包含关系，且A−B=∅,B−A=B,∅∈F,B∈F。
当A={2},B={3,5}时，A和B互不相交，且∅∈F,A∪B∈F。
当A={2}或{3,5},B={2,3,5}时，A和B为包含关系，且A−B=∅,∅∈F,B−A∈F。
当A=B时，A和B可视作包含关系，且A−B=∅,B−A=∅,∅∈F。
因此F是U的一个环，选项C正确。
此时，已经可以选出答案了。
但如果时间较为充裕，或者自己经常粗心大意，可以接着去看选项D。
选项D
不妨取A=[0,3],B=[2,4]，A和B相交但互不包含，因此有[0,2]∈F,[3,4]∈F,∅∈F,[0,4]∈F。
此时已经求出了F中的6个元素。
设剩下的一个元素为P，不妨取A=P,B=[0,4]，并进行分类讨论：
-
若A和B互不相交，则∅∈F,A∪B∈F，A∪B的结果必定是一个新的集合，这将会造成F的元素大于7个，不符合题意。
-
若A和B为包含关系，则A−B∈F,B−A∈F。如果A⊆B，则A=[3,4]或[0,2]或[2,4]或[0,3]或[0,4]或∅，不符合题意；如果B⊆A，则A−B的结果必定是一个新的集合，这将会造成F的元素大于7个，不符合题意。
-
若A和B相交但互不包含，则A−B∈F,B−A∈F,∅∈F,A∪B∈F，A∪B的结果必定是一个新的集合，这将会造成F的元素大于7个，不符合题意。
因此，若存在U的一个环F，则F的元素不可能为7个，选项D错误。
结语
经过对这四个选项的逐项分析，我们可以确定，答案就是选项D了。
之后在碰到类似题目时，如果没有什么好的思路，不妨尝试一下画韦恩图，这往往能带来意想不到的效果。正如陆游在《游山西村》一诗中所说：
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
后记
我一开始做题的时候，虽然也是画韦恩图，但是题意理解错了，导致步骤错误，答案却误打误撞选对了。后来在写这篇文章时，我才发现步骤上存在不少问题…如果这道题不是选择题，而是简答题，后果不堪设想（或许只能得到一小部分步骤分和答案分）！因此，在做题时必须要仔细读题，慎重考虑，确保自己思路无误，计算不错，从而一气呵成！
同时，由于笔者水平有限，本文可能会出现谬误，欢迎读者们在评论区提出。本文提到的这一种方法也不一定是最好的方法，只是一种可供读者们参考的思路。如果你有更好的方法，也欢迎在评论区提出。大家一起交流学习，相互促进，共同成长！
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